La cicloide, la Helena de la geometría

Desde nuestra más tierna infancia estamos acostumbrados a estudiar el espacio plano, el llamado cartesiano, que se amplia, sólo para los alumnos que escogen ensanchar sus conocimientos en ciencias, con el espacio tridimensional. En las aulas la línea siempre es recta, los polígonos a ser posible regulares y los cuerpos prismáticos, cilíndricos o cónicos.


Sin embargo, cuando salimos al mundo real, la naturaleza se prodiga muy poco en mostrarnos cuerpos regulares, planos y rectas. Estamos rodeados de círculos, espirales, hipérbolas, cardiodes, cicloides, elipses, catenarias…


Las curvas en las que la madre naturaleza ha derrochado sus energías no pudieron ser observadas con la belleza matemática que se merecían hasta el siglo dieciocho, momento en el cual se desarrolló el cálculo diferencial, una herramienta necesaria para acercarse a este maravilloso universo.


A la gresca con las cicloides
Si hacemos rodar un círculo sobre una superficie plana y observemos la trayectoria que dibuja un punto cualquiera del mismo, al principio se desplazará hacia arriba, alcanzará una altura máxima, que es igual al diámetro del círculo, luego descenderá hasta tocar la línea horizontal en un punto situado a una distancia del original igual a la circunferencia del círculo.


A esta curva que se repite tanto y como sigamos haciendo girar el círculo se denomina cicloide. Es una curva con muchas singularidades y que trajo de cabeza a los matemáticos durante siglos. La cicloide fue durante más de una centuria causa de querellas, peleas y reyertas, razón por la cual se la denominó la Helena de los geómetras.


Uno de los primeros en profundizar en sus características fue Evangelista Torricelli (1608-1647) quien, a la edad de treinta y seis años, publicó un voluminoso tratado sobre la misma. En alguna ocasión Galileo Galilei reconoció haber dedicado cuatro décadas de su vida al estudio de la cicloide.


Esta curva también influyó en la biografía del científico y filósofo Blais Pascal. Se cuenta que una noche de 1658 sufrió un terrible dolor de muelas que no le dejaba dormir, sin pensárselo dos veces se levantó, se sentó en su mesa de trabajo y se puso a trabajar en la curva cicloide para distraer su malestar.


Tautócrona y braquistócrona
Los científicos observaron que, despreciando el rozamiento, si invertimos una cicloide y dejamos caer un objeto por la misma –una canica- llegará a la parte más baja de la curva en un tiempo que no depende del punto de partida. Esta curiosa propiedad se denomina tautócrona.


En la cicloide, el tiempo de recorrido es menor que un segmento, es decir, se minimiza el tiempo que se tarda en recorrer una distancia y, por eso, también se denomina braquistócrona –del griego braquistos, el más breve, y cronos, tiempo-. Es precisamente esta propiedad la que hace que, por ejemplo, los toboganes de patinaje tengan forma de cicloide, para conseguir llegar abajo en el menor tiempo posible.


Además, y siguiendo el principio de Fermat, dado que la trayectoria seguida por un haz de luz entre dos puntos es aquella que resulta en el menor tiempo de viaje, la luz dibuja una curva braquistócrona, en donde su velocidad se incrementa con una aceleración vertical.


En definitiva, la elegancia, la sensualidad y la belleza de la naturaleza, como en la vida, no se consiguen con las rectas ni con los planos, sino con las curvas.





M. Jara



Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación