МЕТОД БИССЕКТРИС ДЛЯ ТРИСЕКЦИИ УГЛА В ПРЯМОМ ПОСТРОЕНИИ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ БЕЗ ДЕЛЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ r- ПОЛОС (2 replies)
Михайлов Сергей Леонидович
smthrsol@internet.ru
Здесь предлагается другое решение по сравнению с [1] для «неразрешимой» задачи трисекции угла. По-видимому, моё сообщение [2] о разрешимости трисекции угла вопреки «доказательству П.Ванцеля» также обретает большее звучание тогда. Отдельные частные построения и вспомогательные алгоритмы – см. [3].
Ранее автором введён продуктивный объект в элементарную геометрию под названием «r- полоса» как часть плоскости между двумя параллельными прямыми с расстоянием r между ними. Такие прямые известны в геометрии издревле, но их применение именно как отдельного и эффективного средства ранее не приводилось, по-видимому. Интересные примеры, приведённые автором – см. [4].
1. Пусть нам дан произвольный острый угол ^ABC=β и используем небольшой произвольный отрезок r для построения двух прямых (a₁) и (a₂), параллельных лучу AB по обе стороны от луча AB и отстоящих от него на расстояние r каждая – Рис.1. Из точки B₂ отложим по прямой (a₂) отрезок 2r, получая точку A₂ и отрезок A₂B также.
2. Проводим дугу ∪A₂B(B) этим радиусом A₂B из вершины B от прямой (a₁) до луча BC, получая этим точки A₁ и C₁ соответственно. Очевидно получен угол ^A₁BA₂=ψ₁, причём A₁A₂=2r и проводим дугу радиуса 2r из A₂ до пересечения с дугой ∪A₂B(B), получая этим точку V₁ над/(под) лучом BC и угол ^ A₁BV₁=2ψ₁ очевидно.
3. Наша цель получить угол 2/3β- угла, что равносильно решению β- трисекции.
4. Однако пока угол 2ψ₁ меньше/(больше). Получим биссектрису BD₁ угла ^A₁BC и в пересечении её с прямой (a₂) имеем точку F₁, соединяя которую с вершиной B и получаем радиус BF₁ для второй дуги, аналогичной ∪A₂B(B), но меньшей. Затем повторяем построение п.2. и в итоге имеем точку V₂ под/(над) лучом BC.
5. Это означает, что теперь уже угол 2ψ₂ больше/(меньше) искомого и потому можем успешно скорректировать его к 4/3β=4φ, β=3φ, φ=β/3. Для этого соединяем точки V₁ и V₂ отрезком прямой и пересечение ею луча BC даёт искомый радиус решения и построением можно убедиться в точности полученного так результата.
[IMG]https://s8d4.turboimg.net/t/110280102_2025-03-12_22-12-25.png[/IMG]
Image
Рис.1.
Успешное тестирование для «совершенно неделимого натрое» угла ^ABC=β=60°, сервис Inkscape, б/пл версия. Результат: β/3=19.87° (по подстрочному сообщению Inkscape). Построение выполнялось в полу-ручном режиме, рисунок демонстрационный.
6. Тестирование проводилось автором вручную «циркулем и линейкой без делений на ней» на большой группе углов и показало отличные результаты – абсолютная погрешность φ- угла (φ=β/3) не превосходит 0.15° и связана с неточностями работы при размерах чертежей примерно 1/4 от формата А4.
7. Практически, наиболее удобным для построений оказывается интервал 54⁰ – 84⁰ так как меньшие углы создают неудобно большие отрезки и сильно вытягивая сам чертёж. Углы вне этого диапазона для удобства работы можно кратно уменьшать или увеличивать с обратным преобразованием после трисекции.
8. По мнению автора, выше предлагаемый метод столь очевиден, что уже не нуждается в каких-либо ещё доказательствах как таковых.
9. Это построение требует аккуратности и потому необходимы всегда максимально точное позиционирование инструментов при минимально допустимой толщине линий чертежа не выше «толщины волоса» на чертежах в ¼ от формата А4.
10. Любое позиционирование инструмента или визуальное определение точки пересечения линий неминуемо содержит некую субъективную погрешность всегда, что неустранимо в принципе в построениях вручную, но здесь этого заметно практически не было.
11. Алгоритм разработан автором по личной инициативе, без обсуждений, консультаций и т.п. с кем-либо. Авторское право было мною зафиксировано за собою заранее.
Источники информации
1.Математический форум МГУ – www.mathforum.ru. Высшая математика, «Трисекция угла – прямое построение», автор smthrsol, 13.06.2024 16:47.
2.Сообщение автора(smthrsol) на MathForum.Ru – Высшая математика 7.12.24 20.58.
3.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М «Наука», 1974,416 с.
4.Сообщение автора(smthrsol) на MathForum.Ru – Высшая математика 22.06.24 18.58.