Слабое место математики: можно ли доказать всё, что истинно?
https://www.youtube.com/watch?v=jP3ceURvIYc
Получасовое видео с красивой инфографикой о том, что в математике есть истинные утверждения, которые нельзя доказать. Например, мы вряд ли узнаем, как много простых чисел–близнецов (разница между простыми числами равна 2). Также наперёд нельзя предсказать исход игры «Жизнь».
В видео рассказывают о том, как в 1874–м немецкий математик Георг Кантор опубликовал работу о теории множеств. Он задался вопросом: количество вещественных чисел от 0 до 1 — такое же как натуральных (1, 2, 3,...) или вещественных больше? Казалось бы: и тех, и тех — бесконечное множество. Но как бы мы не пытались пронумеровать натуральными числами все вещественные числа — всегда можно создать действительное число, которого нет в списке, и получалось, что есть две бесконечности: бесконечное множество натуральных чисел и бесконечное множество вещественных чисел, в котором больше элементов.
Математики раскололись на два лагеря: «интуиционисты» — считали теорию множеств полной чушью. Анри Пуанкаре писал, что потомки прочитают о теории множеств как о хвори, которую нас удалось побороть. На другой стороне были «формалисты» во главе с авторитетным немецким математиком Давидом Гильбертом, который считал, что работа Кантора — гениальна, и что формальная и строгая система доказательств, опирающаяся на теорию множеств, сможет решить все накопившиеся проблемы математики.
В 1901–м году Бертран Рассел (автор мысленного эксперимента «Чайник Рассела») нашёл в теории множеств слабое место: парадокс самореференции, или же парадокс Рассела, который мы знаем как неразрешимую задачу о городе, в котором парикмахер бреет всех мужчин, которые не бреются сами, и в котором не понятно, кто должен брить самого парикмахера.
Давид Гильберт хотел решить три больших вопроса:
1) полнота математики: возможно ли доказать любое истинное утверждение;
2) непротиворечивость математики;
3) разрешимость математики: есть ли такой алгоритм, который позволит следует ли какой–то вывод из аксиом.
В поиске ответов на эти вопросы сыграл большую роль 24–летний математик Курт Гёдель, который создал теорему о неполноте, которая утверждает, что истинность и доказуемость — совсем не одно и то же.
В 1936 году Алан Тьюринг нашёл решение третьего вопроса.
В общем, видео очень увлекательное, и будет интересно даже тем, кто не изучал матан в ВУЗе, но испытывает интерес к математике, и к тому, какие вопросы решают (или пытаются решить) сами математики.
Написал wannacry на math.d3.ru / комментировать