О доказательстве метода r- полос в трисекции угла (1 reply)
Михайлов Сергей Леонидович
smthrsol@internet.ru
Сообщая об успешном применении метода r- полос [1] для решения «неразрешимой» задачи трисекции угла ранее, автор умышленно взял паузу, способствуя этим дискуссии, которой в полной мере всё-таки не последовало. Серьёзных возражений, увы, не было. До этого в апреле было моё предыдущее сообщение [2] о разрешимости трисекции угла вопреки «доказательству П.Ванцеля» также не получившее серьёзных возражений. Отдельные частные построения и вспомогательные алгоритмы – см. [3]. Подводя итог этому, далее привожу здесь строгое математическое тригонометрическое доказательство в обоснование метода r- полос в трисекции угла.
1. Пусть нам дан произвольный острый угол ^ABD=β – Рис.1 и параллельно лучу BD проводим прямую на некотором произвольном расстоянии r от него, обозначаемую как (d₁) – r- полоса (d₁) далее. Аналогично и параллельно лучу AB полосу вдвое шире – 2r- полоса (d₂) соответственно. Они пересекутся в некоторой точке F.
[IMG]https://s8d7.turboimg.net/t/105877442_2024-10-13_17-05-08_2.png[/IMG] 2.
Рис.1.
Определение точки F как пересечения двух r- полос d₁ и d₂.
2. Соединяя точку F с вершиной B – отрезок BF, опускаем затем из неё перпендикуляры на лучи нашего угла – BD и AB соответственно, получая этим два прямоугольных треугольника ΔBFN и ΔBFH с катетами FN=r и FH=2r и с углами φ=^FBN, β-φ=^FBH в итоге этого.
3. Отсюда из треугольника ΔBFN: BN=R=r/tgφ, FB=r/sinφ, из треугольника ΔBFH: FB=2r/sin(β-φ), и потому FB=r/sinφ=2r/sin(β-φ), или:
2sinφ=sin(β-φ). (1)
4. Далее: BN=FBcosφ=2rcosφ/sin(β-φ)=R.
[IMG]https://s8d7.turboimg.net/t/105877443_2024-10-13_17-55-56_2.png[/IMG]
Рис.2.
К доказательству решения трисекции угла методом r- полос.
5. Если мы проводим дугу радиуса R, пересекая прямую (d₁) – точка Z и угол ψ=^ZBD – Рис.2., а луч AB исходного угла – точка Y, то эти точки образуют равнобедренный треугольник с R- боковыми сторонами BZ=R=BY и основанием ZY, середина которого точка H и отрезок
HZ=HY=Rsin((β-ψ)/2)=rsin((β-ψ)/2)/tgφ. (2)
6. Нам нужно доказать, что только для R, определяемого именно таким образом (п.4.), угол ^ZBD=ψ вдвое меньше угла ^ZBY= β-ψ, что и будет получено здесь. Зная что tgφ=r/R и в свою очередь r/R=sinψ имеем тогда для HZ: HZ=rsin((β-ψ)/2)/sinψ. Значит HZ=r если sin((β-ψ)/2)=sinψ и тогда однозначно для острых углов (β-ψ)/2=ψ, β=3ψ, ψ=β/3 что нам и требовалось доказать.
7. Ранее это было подтверждено такими же практическими прямыми построениями при тестировании предлагаемого алгоритма решения трисекции угла исключительно простыми циркулем и линейкой без делений (отметок) на ней – см. [1].
Источники информации
1. Математический форум МГУ – www.mathforum.ru. «Высшая математика», «Трисекция угла – прямое построение», автор smthrsol, 13.06.2024 16:47.
2. Сообщение автора(smthrsol) на MathForum.Ru – "Высшая математика" 27.04.24 20.58.
3.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М «Наука», 1974,416 с.