"En maths, c'est l’étape que beaucoup n’arrivent pas à franchir" : la méthode lumineuse de David Bessis
Les textes de David Bessis ont un effet miraculeux : ils donnent immédiatement envie de faire des mathématiques. Ce Normalien, qui a enseigné à Yale et fondé une entreprise d'IA, explique mieux que quiconque la raison pour laquelle tant de gens ont peur des maths. Et comment lever facilement ce blocage. Son livre Mathematica. Une aventure au cœur de nous-mêmes (Seuil, 2022) traduit en anglais en 2024 a reçu les louanges des plus grands, notamment les médailles Fields Terence Tao et Hugo Duminil-Copin. Le mathématicien David Bessis poursuit aujourd'hui ses publications sur Substack. Des lectures plus utiles que jamais à l’heure où l'IA chamboule les sciences dures et rafle un nombre croissant de médailles aux concours.
L'Express : Beaucoup pensent ne pas être faits pour les mathématiques. À tort, dites-vous : au quotidien, nous mobilisons tous une pensée mathématique avancée.
David Bessis : Lorsque nous comprenons un objet mathématique, il cesse subitement de ressembler à des maths. Notre aisance récente avec les nombres en est un exemple marquant. Demandez aux gens de soustraire 1 à 1 000 000. La plupart visualiseront instantanément le chiffre 999 999. Une clairvoyance qui aurait semblé surnaturelle aux populations utilisant les chiffres romains. Beaucoup d'étudiants en maths ont d’ailleurs un syndrome de l’imposteur : ils pensent ne comprendre que les maths "faciles" et ne pas être capables de comprendre les "vraies" maths difficiles. Car une fois qu’ils ont digéré un concept, il leur semble évident.
Pourquoi ne pas comprendre un concept mathématique suscite chez les élèves beaucoup plus d’inquiétudes, voire de panique, que dans d’autres matières ?
Car, dans d’autres domaines, l'incompréhension est souvent liée à l’ignorance de choses qu’on pourrait apprendre en lisant un livre. Les maths ne sont pas tant un langage, qu'une manière différente d’interagir avec le langage. Au quotidien, nous avons une compréhension intuitive d’un terme, avant d’en avoir une définition. En maths, c’est tout l’inverse : vous recevez une définition, un mode d’emploi, sans avoir au départ la compréhension intuitive de ce que cela veut dire. C'est angoissant. Cela oblige à manipuler un concept dont vous ne comprenez pas bien le sens au début. Ce dernier émerge au fur et à mesure. C’est l'étape que beaucoup de gens n’arrivent pas à franchir. Ils n’essayent pas de jouer avec le concept. Or, c’est toute la magie des maths, il est possible de développer graduellement une intuition de ces choses. C'est même ainsi que nous apprenons dans notre petite enfance.
Quelles sont les méthodes des mathématiciens pour surmonter ces difficultés ?
Ils développent deux choses. D’abord, des manières de jouer avec un problème, de le visualiser sous différents angles pour accélérer le processus de compréhension. Le deuxième point est plus important encore : les mathématiciens ont appris à domestiquer certaines émotions, notamment la peur. Celle-ci est très présente en recherche mathématique, mais nous apprenons à la tenir à distance. Même si nous n’y arrivons pas tout le temps (rires).
Dans votre livre, vous expliquez que des jeux d’imagination et de visualisation vous ont aidé à développer une intuition mathématique. Par exemple, s’entraîner à visualiser mentalement les pièces de son appartement sous différents angles, depuis le sol, le plafond...
Les exercices d’imagination sont clés. J’ai pu les expérimenter d’une autre manière avec mes enfants. Il y a 100 ans, les nombres négatifs étaient un concept incroyablement obscur pour la plupart des gens. Mais on peut aider n’importe qui, notamment des enfants, à en développer une compréhension intuitive, en s’appuyant sur l’image d'un ascenseur qui descend sous le zéro. L’exercice de raconter en détail ses rêves est également très formateur. Arriver, au réveil, à mettre des mots sur des perceptions confuses qu’on a eues la nuit est très difficile. Mais, plus on s’y exerce, plus cette capacité se développe. Au départ, je ne notais que quelques impressions vagues. Très vite, des pages entières me sont venues. Pratiquer les maths développe cette capacité à faire des allers-retours entre intuition et langage. Un objet mathématique s’attrape par où on peut. On essaye de l'imaginer de différentes manières. Puis on vérifie ses intuitions au moyen de calculs et de raisonnements. Souvent, notre image mentale est fausse. Mais c’est une bonne nouvelle. Cela permet de l’amender. Mieux vaut dire rapidement beaucoup de bêtises, que de rester inhibé avec des idées fausses dont on suppute qu’elles le sont. Si vous arrivez à vous tromper sans en être vexé, vous apprendrez très vite.
Dans votre livre Mathematica, vous racontez l'histoire inspirante de Bill Thurston, un géomètre de renom capable de visualiser mentalement la dimension 4 et la dimension 5. Quels exercices pouvons-nous pratiquer pour arriver à "voir" ces dimensions ?
Un espace de dimension 4 ou même de dimension 40 n’est pas forcément un espace physique, avec des dimensions où l’on peut se mouvoir. Cela peut être un système complexe à plusieurs paramètres. Par exemple, à quelle vitesse une population de lapins va se répandre dans l’espace compte tenu de la fécondité de ces animaux et du temps qui passe. Mais la complexité des théorèmes que Bill Thurston a démontrés laisse en effet penser que lui arrivait réellement à "visualiser" la dimension 4 et la dimension 5. Son histoire est riche de leçons et démystifie l’idée que le don des maths est inné. Ce mathématicien qui est un des plus grands géomètres du siècle passé est, en effet, né avec un handicap : un strabisme qui l’empêchait de percevoir la dimension 3 comme les autres. Son champ visuel se chevauchait mal. Son cerveau ne percevait donc pas la profondeur. Sa mère l’a rééduqué de manière ingénieuse avec des jeux de visualisation lors de sa petite enfance. Il a développé un amour fou pour ces exercices et a appris à voir en dimension 3 en recollant mentalement deux images de dimension 2. Il a alors décidé de ne pas s'arrêter en si bon chemin et a travaillé à recoller des images de dimension 3 pour "voir" la dimension 4.
Lors d'une conférence, vous expliquiez que les capacités mathématiques peuvent se développer à tout âge. Avant d’admettre que pour un Einstein, tout s’est sans doute joué avant 2 ans. Que peut-on encore débloquer à 20 ans ou à 60 ans ?
Il faut dénouer le malentendu de l’inné et de l’acquis. On a entretenu un débat stérile, sur deux points de vue absurdes. Le premier est l’idée erronée qu’on pourrait tout apprendre à tout le monde. Que rien n’est figé. Que tout n'est qu'une question éducative ou sociale. L’idée inverse, tout aussi fausse, est de penser que tout est génétique et qu’on ne peut rien y changer. L’être humain est un animal bien plus complexe. Il y a des inégalités génétiques, mais elles ne sont pas si grandes que cela. A alimentation égale, la taille est fortement déterminée par les gènes. Mais vous n’avez pas besoin de fabriquer des fourchettes pour les "petits" et des fourchettes pour les "grands". On a glosé sur les écarts homme - femme dans le domaine de l’athlétisme. Cet écart existe bel et bien. Mais il n’est que de 10 % sur une course de 100 mètres. C’est important pour les athlètes, mais cela ne redéfinit pas l’espèce. Pour autant, on ne peut pas tout accomplir à n’importe quelle période de notre vie. Une personne de 50 ans qui n’a jamais fait de sport ne deviendra pas Usain Bolt. Ce que Bill Thurston a pu accomplir est d’ailleurs probablement lié au fait qu'il a travaillé son intuition dès la prime enfance, à une période ou la neuroplasticité est plus importante. Si vous essayez de l’imiter demain, vous n’arriverez sans doute pas au même résultat. Mais vous améliorerez certainement beaucoup votre visualisation géométrique.
Les entreprises du secteur de l’IA générative promeuvent énergiquement l’utilité de leurs outils pour les sciences dures. Partagez-vous leur optimisme ?
Geoffrey Hinton (NDLR prix Turing en 2019, nobélisé en 2024) a déclaré que les mathématiques seraient sans doute la première discipline où l’IA surpassera l’humain. Mais il y a un malentendu dans ce débat. La machine est déjà meilleure que nous en calcul. Cela ne la rend pas meilleure dans toutes les facettes de cette discipline. L’enjeu des maths n’est pas de démontrer des théorèmes. C’est de rendre le monde plus intelligible. Un certain nombre de théorèmes seront sans doute démontrés à l’aide d’IA, dans les années qui viennent. Imaginons qu’elles parviennent un jour à résoudre l’hypothèse de Riemann, sans doute le problème ouvert le plus célèbre et le plus profond en maths fondamentales. Il n’en reste pas moins que le langage de formulation de cette hypothèse et l’idée que cet énoncé est important sont des productions humaines. Tout l’enjeu sera de modifier la manière dont nous travaillons et d’élever la position du mathématicien qui sera outillé de ces machines, pour élever le débat.
A quels niveaux la dernière génération d’IA peut-elle aider des mathématiciens tels que vous ?
L’usage le plus évident est la vérification de preuves. Lorsque j’écrivais mes articles de recherche, j’ai passé des mois sur des détails techniques. L'IA peut aider à aller bien plus vite. Il est tout à fait possible qu’elles découvrent également comment démontrer certains théorèmes qui ne l’ont pas encore été. Le jalon supérieur, sans doute plus lointain, serait qu'elles formulent des conjectures. Autrement dit, qu’elles ne se contentent pas de démontrer qu'une chose qu'on pense vraie l’est réellement, mais qu'elles génèrent des suppositions novatrices. La qualité d’une conjecture, c’est justement sa capacité à rendre le monde plus lumineux, plus compréhensible. Les IA génératives y arriveront peut-être un jour, mais elles n’en sont pas encore là. Il y a enfin le fait d’inventer des concepts. Lorsque Euler invente les nombres complexes, c’est un vrai saut intellectuel.
L’IA générative rédige des textes très cohérents. Beaucoup sont donc tentés de lui déléguer la rédaction de leurs mails et de leurs rapports. Au risque de perdre la clarification mentale apportée par l’acte d’écrire ?
Beaucoup de mathématiciens se perçoivent comme des littéraires, car l’écriture est un outil de cristallisation de la pensée. Il y a en effet un risque à utiliser l’IA pour écrire, même s'il est tentant de lui déléguer nos mails administratifs. Il me semble important d’entretenir le réflexe de fabriquer des phrases. Ceux qui le perdent auront du mal à le retrouver. En revanche, se servir de l’IA pour se relire me semble utile.
Quelles différences et similitudes observez-vous entre la manière dont l’IA et l’humain apprennent ?
L’IA n'est pas une métaphore parfaite du cerveau humain, mais elle lui ressemble sur plusieurs points. Ses mécanismes imitent certaines caractéristiques d’organisation cellulaire et d’apprentissage du cerveau. Il y a un ancien débat philosophique sur le langage. Les entités abstraites que nous avons conceptualisées existent-elles dans un "monde parallèle" ou sont-elles des conventions de langage ? Avec l’IA, on voit que les concepts sont des entités cognitives : ce sont des choses qu’un système d’apprentissage profond fabrique pour donner du sens à la réalité. On voit, de manière modélisée, l’émergence de concepts latents.
C’est-à-dire ?
Quand un concept émerge dans le cerveau, on ne le voit pas forcément dans le langage. Mais quelque chose dans le cerveau "s’excite"… La capacité des IA à faire de la pensée associative est une manifestation de pensée conceptuelle. Un exemple : si vous montrez des millions de photos d’animaux à un système d’apprentissage profond, il va inventer le concept "éléphant". Il va savoir que "ceci" est la même chose que "cela".
Une comparaison souvent faite est que l’IA a besoin de quantité de photos de chats pour apprendre à en identifier un, tandis qu’un enfant qui croise l'animal une fois ou deux le reconnaîtra parfaitement ensuite. Suggérez-vous que la différence est moins grande qu’on ne le pense ?
Oui, car un nouveau-né qui croise un chat ne réagit même pas, il ne le voit pas. Sa rétine fonctionne, mais son cerveau n’a pas encore de structuration de l’espace visuel. L’enfant qui croise plus tard l’animal n’a peut-être encore jamais vu de chat. Mais il a appris à reconnaître des formes, des objets, des poils, des oreilles. C’est là que l’association singulière "oreille pointue, miaou, poil" le frappe. Et qu’il ne l’oublie plus. Mais il n’est pas tout à fait vrai de dire qu’il apprend d’un seul exemple.
Comment se servir intelligemment de l'IA pour apprendre ? Comment l'utilisez-vous au quotidien ?
Le métier d’enseignant va se transformer et se rapprocher du mentor. Lorsque l’IA sera présente, l’enjeu sera d’orienter l’élève : qu’il ne se perde pas, qu’il gère des erreurs d’un type nouveau, qu’il garde son cap. Aujourd’hui, l’IA m’est très utile dans deux cas de figure. D’abord, pour avoir un bon aperçu d'un sujet auquel je ne connais rien. Cet aperçu est parfois imparfait, mais il aplanit mon chemin et m’aide à m'orienter. Ensuite, l'IA est un excellent compagnon au long cours sur des sujets que je maîtrise bien.
Les grands modèles de langage ont propulsé l’IA en quatre ans. Peuvent-ils encore beaucoup apporter, ou avons-nous atteint leurs limites ?
Les LLM ont des limites mais elles sont assez hautes. Et les architectures LLM s’hybrident avec d’autres méthodes. Par exemple, pour résoudre des "Olympiades de Maths", certains ont mélangé une partie générative adossée à un LLM avec des technologies de vérification plus anciennes. Générer plein d’hypothèses stupides est utile, dès lors que vous pouvez ensuite nettoyer l’arbre des possibles par vérification formelle. Nous, humains, apprenons en observant le monde mais aussi grâce à nos élucubrations mentales. Même si elles sont fausses, elles nous apprennent quelque chose. Nous pourrons sans doute à l’avenir créer des LLM capables d’étendre leurs données d’apprentissage de cette façon. Il faut réussir à le faire de manière vertueuse. Pour l’heure, cela enferme souvent le système dans une boucle hallucinatoire délirante. Mais si nous parvenons à franchir ce cap, nous aurons changé de génération d’IA.
Quels conseils donnez-vous à ceux qui, vous lisant, ont envie de se réconcilier avec les mathématiques ?
Si vous souhaitez comprendre ce qu’est le raisonnement mathématique, allez jeter un œil aux démonstrations classiques. Celle prouvant que la racine de 2 est un nombre irrationnel vaut le détour. Ou encore celle montrant pourquoi il y a plus de nombres réels que de nombres rationnels. Cela vaut le coup de sécher pendant quelques jours, de vivre cette expérience complète. Tout le monde peut y arriver en prenant le temps, et en s’appuyant au besoin sur un interlocuteur qui vous guide. Pour ceux qui ont cerné ce que sont les maths et veulent élargir leur culture du sujet, il y a des chaînes YouTube passionnantes, telles que 3Blue1Brown. Les lycéens adorent mais je connais également quelques médailles Fields qui l’apprécient beaucoup.